43 = ))4x)(1x(x)4x)(2x(x4)4x)(2x)(1x(( 4 1 −−+−−+−−−− = ))1x(x)2x(x4)2x)(1x()(4x( 4 1 −+−+−−−− = )2x6x4)(4x( 4 1 2 −−− Cách 2: L 3 (x) = )2)(1(2 )4x)(1x(x 1 )3)(1(1 )4x)(2x(x 3 )4)(2)(1( )4x)(2x)(1x( 2 − −− − −− − − + −−− − −− = )2x6x4)(4x( 4 1 2 −−− 7.3. Đa thức nội suy Lagrange với các mối cách đều Giả sử hàm f(x) nhận giá trị y i tại các điểm tương ứng x i ( n,0i = ) cách đều một khoảng h. Đặt h xx t 0 − = , khi đó: x - x 0 = h*t x i - x 0 = h *i x- x 1 = h(t - 1) x i = x 1 = h(i-1) x - x i - 1 = h(t- (i-1)) x i - x i - 1 = h x - x i+1 = h(t -(i+1)) x i - x i+1 = -h x - x n = h(t - n) x i - x n = -h(n - i) )in(* *2*1*)1(1* *)1i(i )nt(* *))1i(t)(1i(t(* *)1t(t )htx(p in 0 ' n −−− − + − − − − =+ − = in )1)!*(in(!i*)it( )nt(* *)1t(t − −−− − − L n (x 0 + ht) = t(t -1) (t - n) ∑ = − −− − n 0i in i )!in(!i)it( )1(y Ln(x 0 + ht) = ∑ = − − − −− n 0i i n iin it cy.)1( !n )nt) (1t(t Ví dụ 2. Tìm hàm nội suy của f(x) thoả mãn: 44 x i 0 2 4 f(x 0 ) 5 -2 1 Giải: Cách 1: W(x) = x (x - 2) (x - 4) W’(0) = (0 - 2) (0 - 4) = -8 W’(2) = (2 - 0) (2 - 4) = -4 W’(4) = (4 - 0) (4 - 2) = 8 L 2 (x) = ) 8).4x( 1 )4)(2x( 2 )0x(8 5 )(4x)(2x(x − + −− − − −− = ) )4x(4 1 )2x( 2 x4 5 ()4x)(2x(x 8 1 − + − −+−− = ))2x(x)4x(x4)4x)(2x(5( 8 1 −+−+−− = )20x24x5( 4 1 )40x48x10( 8 1 22 +−=+− Cách 2: ) 2 t C.1 1 t C2 0 t C5 ( !2 )2t)(1t(t )t2(L 2 2 1 2 0 2 2 − + − − − − −− = = ) 2t 1 1t 4 t 5 ( 2 )2t)(1t(t − + − + − − = )1t(t)2t(t4)2t)(1t(5( 2 1 2 −+−+−− = 5t12t5)10t24t10( 2 1 22 +−=+− Vậy 5x6x 4 5 )x(L 2 2 +−= 7.4. Bảng nội suy Ayken 45 Khi tính giá trị của hàm tại một điểm x=c nào đó bất kỳ mà không cần phải xác định biểu thức của f(x). Khi đó ta có thể áp dụng bảng nội suy Ayken như sau 7.4.1. Xây dựng bảng nội suy Ayken c-x 0 x 0 -x 1 x 0 -x 2 … x 0 -x n d 1 x 1 -x 0 c-x 1 x 1 -x 2 … x 1 -x n d 2 x 2 -x 0 x 2 -x 1 c-x 2 … x 2 -x n d 3 … … x n -x 0 x n -x 1 x n -x 2 … c-x n d n W(c) = (c- x 0 )( c- x 1 )…( c- x n ) : Tích các phần tử trên đường chéo W’(x i ) = (x i - x 0 )( x i – x 1 )… (x i - x i-1 ) (x i - x i+1 ) (x i - x n ) (c - x i ) W’(x i ) = (x i - x 0 )( x i – x 1 )… (x i - x i-1 ) (c- x i )(x i - x i+1 ) (x i - x n ) d i = (c-x i ) W’(x i ) : Tích các phần tử trên dòng i (i=0,1, …,n) f(c) ≈ L n (c) = W(c). ∑ = − n 0i ii i )(xW')xc( y f(c) ≈ W(c) ∑ = n 0i i i d y Ví dụ 3. Tính f (3. 5) khi biết f(x) thoả mãn x i 1 2 3 4 5 y i 3 2 7 -1 0 Giải Xây dựng bảng nội suy Ayken 2.5 -1 -2 -3 -4 60 1 1.5 -1 -2 -3 -9 2 1 0.5 -1 -2 2 3 2 1 -0.5 -1 3 4 3 2 1 -1.5 -36 W(3.5) = 1.40625 46 f(3.5) ≈ L 4 (3.5) = 3 1 2 7 9 2 20 1 −+− 7.4.2. Thuật toán - Nhập: n, x i , y i (i = 0, n), c - w = 1; s = 0; - Lặp i = 0 → n { w = w*(c - x i ) d = c - x i Lặp j = 0 → n Nếu j != i thì d = d * (x i - x j ) s = s + y i /d } - Xuất kết quả: w * s 7.5. Bảng Nội suy Ayken (dạng 2) Xét hàm nội suy của 2 điểm: x 0 , x 1 L 01 = 01 0 1 10 1 0 xx x x y xx x x y − − + − − = 01 0110 xx )xx(y)xx(y − − − − = Hàm nội suy của hai điểm x 0 , x i Xét hàm p(x) có dạng: y 0 x 0 -x y 1 x 1 -x x 1 -x 0 y 0 x 0 -x y i x i -x L 0i (x) = x i -x 0 L 01 (x) x 1 -x L 0i (x) x i -x p(x) = x i - x 1 47 L 01 (x 0 ) (x i – x 0 ) - L 0i (x 0 ) (x 1 – x 0 ) y 0 (x i - x 1 ) p(x 0 ) = x i - x 1 = x i - x 1 = y 0 y 1 (x i - x 1 ) P(x 1 ) = x i - x 1 = y 1 -y 1 (x 1 - x i ) P(x i ) = x i - x 1 = y i Vậy p(x) là hàm nội suy của 3 điểm x 0 , x 1 , x i Tổng quát: Hàm nội suy của n+1 điểm x 0 , x 1 , x n L 012 n-2 n-1 (x) x n-1 -x L 012 n-2 n (x) x n -x L 012 n (x) = x n - x n-1 Bảng Nội suy Ayken (dạng 2) x i y i L oi (x) L o1i (x) L o12i (x) L o12 n (x) x i - x x 0 y 0 x 0 - x x 1 y 1 L o1 (x) x 1 - x x 2 y 2 L o2 (x) L o12 (x) x 2 - x x 3 y 3 L o3 (x) L o13 (x) L o123 (x) x n y n L on (x) L o1n (x) L o12n (x) L o12 n (x) x n - x Ví dụ 4. Cho f(x) thoả mãn: x i 1 2 3 4 5 y i 2 4 5 7 8 Tính f (2.5) 48 Giải: Áp dụng bảng Ayken (dạng 2) x i y i L oi (x) L o1i (x) L o12i x L o123i x x i - x 1 2 -1.5 2 4 5 -0.5 3 5 4.25 4.625 0.5 4 7 4.5 4.875 4.5 1.5 5 8 4.25 4.875 4.562 4.407 2.5 Vậy f(2.5) ≈ 4.407 Chú thích : L 01 (-2.5) = (2(-0.5) - 4(-1.5)) / (2-1) = 5 7.6. Nội suy Newton 7.6.1. Sai phân Cho hàm f(x) và h là hằng số, khi đó: ∆f(x) = f (x + h) - f(x) được gọI là sai phân cấp 1 đốI vớI bước h. ∆ 2 f(x) = ∆[∆f(x)] : sai phân cấp 2 Tổng quát: ∆ k f(x) = ∆[∆ k-1 f(x)] : sai phân cấp k Cách lập bảng sai phân: x i f(x i) ∆f(x i) ∆ 2 f(x i) ∆ 3 f(x i) … ∆ n f(x i) x 0 y 0 x 1 y 1 ∆f(x 0) x 2 y 2 ∆f(x 1) ∆ 2 f(x 0) x 3 y 3 ∆f(x2 ) ∆ 2 f(x 1 ) ∆f 3 (x 0 ) … … … x n y n ∆f(x n-1) … … … ∆ n f(x 0) 49 7.6.2. Công thức nội suy Newton Giả sử hàm f(x) nhận giá trị y i tại các mốc x i cách đều một khoảng h. Khi đó hàm nội suy Newton là một đa thức bậc n được xác định như sau: L n (x) = C o ϕ 0 (x) + C 1 ϕ 1 (x) + + C n ϕ n (x) (*) Trong đó: ϕ 0 (x) = 1; h xx )x( 0 1 − =ϕ ; !2h )xx)(xx( )x( 2 10 2 − − =ϕ ; …. !nh )xx) (xx)(xx( )x( n 1n10 n − − − − =ϕ Lớp các hàm ϕ i (x) có tính chất sau: - ϕ i (x 0 ) = 0 ∀i = n,1 - ∆ϕ k (x) = ϕ k-1 (x) * Xác định các hệ số C i (i = n,0 ) Sai phân cấp 1 của L n (x) : (1) ∆L n (x) = C 0 ∆ϕ 0 (x) + C 1 ∆ϕ 1 (x) + C 2 ∆ϕ 2 (x) + + C n ∆ϕ n (x) = C 1 ϕ 0 (x) + C 2 ϕ 1 (x) + + C n ϕ n-1 (x) Sai phân cấp 2 của L n (x) : (2) ∆ 2 L n (x) = C 1 ∆ϕ 0 (x) + C 2 ∆ϕ 1 (x) + + C n ∆ϕ n-1 (x) = C 2 ϕ 0 (x) + C 3 ϕ 1 (x) + + C n ϕ n-2 (x) … … Sai phân cấp n của L n (x) : (n) ∆ n L n (x) = C n ϕ 0 (x) = C n Thay x = x 0 vào (*), (1), (2), , (n) ta được: C 0 = L n (x 0 ) ; C 1 = ∆L n (x 0 ) ; C 2 = ∆ 2 L n (x 0 ) ; ; C n = ∆ n L n (x 0 ) . 4.625 0.5 4 7 4.5 4. 875 4.5 1.5 5 8 4.25 4. 875 4.562 4.4 07 2.5 Vậy f(2.5) ≈ 4.4 07 Chú thích : L 01 (-2.5) = (2(-0.5) - 4(-1.5)) / (2-1) = 5 7. 6. Nội suy Newton 7. 6.1. Sai phân Cho hàm f(x). 7. 4. Bảng nội suy Ayken 45 Khi tính giá trị của hàm tại một điểm x=c nào đó bất kỳ mà không cần phải xác định biểu thức của f(x). Khi đó ta có thể áp dụng bảng nội suy Ayken như sau 7. 4.1 x n y n L on (x) L o1n (x) L o12n (x) L o12 n (x) x n - x Ví dụ 4. Cho f(x) thoả mãn: x i 1 2 3 4 5 y i 2 4 5 7 8 Tính f (2.5) 48 Giải: Áp dụng bảng Ayken (dạng 2) x i y i L oi (x)